등가속도 운동

일차함수(linear function)랑 비율(ratio) 좀 배우고 나서 왜 이리로 건너왔느냐..

그 정도만 이해해도 할 만해서 그런 것이고 일차식 그래프에 대한 이해와 약간의 직관만으로 설명 가능하다. 등가속도가 아닌 물체의 운동은 미분 적분 덩어리임, 중력에 의한 낙하 운동이 등가속도 운동이라서 이것만 이해해도 이해할 수 있는 운동들이 우리 근처에 널렸기 때문이다. 지우개 한 번만 저리로 던져도 등가속도 운동임 물체를 던졌을 때의 운동은 등가속도 직선운동과 등속 운동의 조합으로 설명할 수 있는 거라 조금 복잡하기는 하다. 하지만 포물선을 그리며 날아가는 물체의 운동도 등가속도 운동이다

결론부터 이야기하자면 오늘은 아래 두 식을 이해하게 될 것이다.

v=v_0 +at

d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2

하지만 외울 필요는 없고, 이해만 하면 된다. 다만 속도 - 시간 그래프(v-t Graph)에서, 주어진 속도/가속도/시간에 따라 그래프가 어떻게 그려지는지 아는 것은 필수.

등가속도 운동

가속도

자. 어디서 많이 본 모양새이다. 이전에 배웠던 속도는 뭐라 그랬더라?

패턴이 똑같으니 가속도도 비슷한 방법으로 쓸 수 있겠지. 이렇게

식에서 알 수 있듯이 1초 동안에 속도가 얼마나 바뀌었는지 비율로 나타낸 값이 가속도이다.

예를 들어 처음에는 속도가 10m/s 이었는데, 2초 후에 50 m/s가 되었다면 속도 변화량 \Delta v= 50 - 10 = 40 m/s 이것이 2초에 걸쳐서 일어났으므로, 1초당 속도 변화량은 20 m/ s^2 이다.

여기서 주의할 것은 지난번 속도를 계산할 때 그랬던 것처럼 가속도를 계산할 때에도 속도의 변화량을 그것이 변하는 데 걸린 시간(시간 변화량)으로 나누어야 한다는 것이다. 걸린 시간은 직접적으로 주어질 때도 있고, 이렇게

아니면 걸린 시간을 유추할 수 있게 주어지기도 한다. 이렇게

v = v_0 + at

?! 원래 식은 v = v_0 + at 인데 이건 v=v_0 + a \Delta t 가 아니냐고 할지 모르겠다. 의미는 정확하게 같다. 다만 나는 걸린 시간을 \Delta t 로 표현했고, 원래 공식에서는 걸린 시간을 t 로 표현했을 뿐이다. 그럼 왜 \Delta t 를 고집하는가... 바로 다음에 나오겠지만 1차식 그래프와 연관 지어서 생각하기가 편하기 때문이다.

속도-시간 그래프 (v-t Graph)

속도 시간 그래프를 그리기 전에, 우리가 익숙한 x, y로 표현된 1차식을 한 번 보자.

기분좋게도, x=0일 때의 y값이 1로 주어져 있으니 y 절편 (y-intercept)는 힘들이지 않고 찾았다. 그럼 1차 함수는 y = a x + 1 의 형태이고 기울기 a 만 모르는 상태이다.

1차 함수에서 기울기는 어떻게 구하던가? y 변화량( \Delta y )을 x 의 변화량( \Delta x ) 으로 나누지 않던가?

\text{기울기} = \frac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}} 즉, a = \frac{\Delta y}{\Delta x}

x가 0에서 2로 변했으니 변화량은 2, y는 1에서 5로 변했으니 y변화량은 4. 따라서 기울기는 a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5-1}{2-0} = \frac{4}{2} = 2

그러므로 직선 식은 y = 2x + 1 이고 그래프로 그리면 다음과 같다.

여기서 눈치챌 수 있으면 빠른 것임 :-) 처음에 나왔던 문제랑 완전히 같은 문제이다.

가로축이 시간 t 고 세로축이 속도 v 면 ( t , v ) 형태로 좌표를 나타내게 되니까, 처음( t=0)의 속도 1m/s는 (0, 1)로 나타낼 수 있고, 2초 후( t=2)의 속도 5m/s는 (2, 5)로 나타낼 수 있다. 그래프는 이런 식으로 나올 것이다.

익숙한 그래프가 나오는 것 말고도, 속도-시간 그래프는 재미있는 성질이 있다. 바로 이것.

그래프 기울기 = 가속도

정말 그런가? 직선의 기울기는 \frac{\Delta y}{\Delta x} 로 나오는데, 속도-시간 그래프에서는 x축이 시간t, y축이 속도v 이므로 \frac{\Delta v}{\Delta t} 로 쓸 수 있다. 가속도는 어떻게 정의하더라?

a=\frac{\Delta v}{\Delta t}

아까 가속도 계산했을 때 값이 2m/ s^2 이었는데, 위 그래프에서 기울기 역시 2라는 것을 알 수 있다.

그래프 아래 면적 = 이동한 거리

이 부분은 바로 이해하기 쉽지 않으니 직관을 동원해서 설명해야겠다.

쉬운 예제로 등속(속도가 같은) 운동에서 속도와 시간이 주어졌을 때 거리를 구하는 문제를 생각해 보자.

\text{속도}=\frac{\text{거리}}{\text{시간}}

이니까, 양변에 시간을 곱하면

\text{거리} = \text{시간} \times \text{속도}

가 된다.

예를 들어 5m/s의 속도로 2초동안 움직이면 2 \times 5 = 10 m 를 이동한 것이다.

그럼 이것을 속도-시간 그래프로 그리면 어떻게 될까? 등속 5m/s 라는 것은 시간이 0초이든 1초이든 2초이든 항상 속도가 5m/s 이라는 이야기니까, 속도-시간 그래프로 그리면

이 그래프에서 0초에서 2초 사이에 만들어지는 직사각형 넓이가 2 \times 5 = 10 이다, 즉 이동한 거리랑 같은 값이 나온다.

아마 이게 우연이 아니라는 건 눈치를 챘을 것이고, 등속이 아니고 다른 경우에도 되는 지 확인해 볼까?

0에서1초 사이에는 속도 \times 시간 =2 \times 1 = 2
1에서2초 사이에는

속도 \times 시간 =4 \times 1 = 4

따라서 6m가 된다.

이번에도 아래쪽 면적이 다 합해서 6이 되어서 이동 거리가 된다.

같은 방법으로 시간에 따라 속도가 계속 바뀌더라도 그 바뀌는 포인트마다 구간을 나누어서 속도와 그 속도가 유지되던 시간을 곱하면 그 시간 동안 이동한 거리를 구할 수 있고, 그것을 다 더하면 총 이동 거리가 나온다.

마찬가지로 그래프에서는 각 구간에 만들어진 직사각형의 넓이가 그 구간에서의 이동 거리가 되고, 각 직사각형의 넓이를 모두 합하면 총 이동 거리가 나온다. 여기서 모든 직사각형의 넓이의 합은 그래프 아래쪽 면적과 같다. 그래서 그래프 아래쪽 면적이 이동 거리가 된다.

이제 이 사실을 이용해서 등가속도 직선운동에서의 이동 거리를 구하는 공식을 유도해보자.

처음에 속도가 v_0 인데 가속도가 a라면, 속도-시간 그래프에서는, 처음 속도라는 건 t=0일 때의 속도이므로 v-절편( v-intercept)의 값이 된다. 가속도는 속도-시간 그래프에서 기울기에 해당한다고 했으니 1차 함수는 v = at + v_0 로 나타낼 수 있다.

시간 0초에서 t 초까지 이동 거리는 그 시간 구간에서 그래프의 아래 면적이 되므로, 그래프 아래쪽 사다리꼴(trapezoid)의 넓이를 구하면 된다. 아래 직사각형과 위의 직각삼각형으로 나누어 생각해 보면, 아래쪽 사각형의 넓이는 자연스레 v_0t 가 된다. 위쪽 삼각형에서 밑변이 t라는는 것은 명백하지만 높이가 조금 생각해 봐야 하는 부분이다. 이 삼각형의 높이는 시간 t 안에 증가한 속도의 크기이기 때문에 가속도 \times 시간 = at 가 되어야 한다. 그러므로 삼각형의 넓이는 \frac{1}{2} \times t \times at = \frac{1}{2}at^2 그래서 이 둘을 합한 총 이동거리는 d = v_0t + \frac{1}{2}at^2

굳이 나누지 않고 사다리꼴 넓이 구하는 방법으로 바로 구해도 된다. 사다리꼴의 넓이는 \frac{1}{2} (윗변 + 아랫변) \times 높이 = \frac{1}{2}(v_0 + v_0 + at)t = v_0t + \frac{1}{2}at^2 .역시 같은 식이 나온다.

자유낙하

필요한 것은 거의 다 익힌 것 같으니 간단한 것에 적용해 보자. 피사의 사탑 꼭대기 즈음에서 물체를 가만히 놓아서 떨어뜨린다고 해 보자. 아래쪽이나 위쪽 아니면 어느쪽이든지 힘 줘서 던지지 않고 그냥 물체를 가만히 놓아 버리는 것이다 이를 자유낙하라고 부른다. 지구 중력에 의해서 물체에 발생하는 가속도는 약 10m/ s^2 으로 알려져 있다. 계산 편하라고 10이라고 했다. 원래는 9.8 정도 됨 3초 동안 떨어졌다면 물체가 낙하한 거리는?

처음에 가만히 놓았다고 했으니 처음에는 속도가 0이다( v_0=0). 그러므로 낙하한 거리 d는

30m/s라는 게 감이 잘 안 올 것이다. 10m/s가 사람이 달릴 수 있는 거의 최고 속도이다. 이걸 km/h로 환산하면 얼마게?

\frac{10m}{1s} = \frac{\frac{10}{1000} km}{\frac{1}{3600} h} = \frac{10}{1000} \cdot 3600 \frac{km}{h} = 36 km/h

사람이 달리는 최고 속도는 시속 36 km/h 정도 된다. 30 m/s는 이것의 3배니까 시속 100km/h가 넘는 것이지. 그래서 고층에서 물건 던지면 안 되는 것이다.

등가속도 운동

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