처음 연립방정식(linear system)을 배울 때, 대입법이니, 가감법이니 하는 여러가지 트릭을 배웁니다. 나중에 가장 많이 사용하는 것은 가감법, 즉 등식을 통째로 다른 식에다가 더하거나 빼는 방식인데요, 이게 왜 되는 걸까요?
위와 같이 생긴 연립방정식을 풀 때, 가장 많이 하는 방식은 식 (2)을 식 (1)에다가 더해서 y를 없앤 후 풀어나가는 것이죠. 그렇게 하면 2x = 4 가 되니 x=2이고 이것을 다시 식 (1)이나 (2)에 넣으면 y=1이라는 것을 알 수 있습니다.
식(2)를 식(1)에다 더해버리는 것, 좌변(left side)은 좌변끼리 우변(right side)는 우변끼리 더해서 새로운 등식을 만드는 것이 왜 되는 걸까요?
사실 이미 알고 있는 내용인데 잘 적용을 못한 것이지요. 등식의 네가지 기본 성질로 돌아가서 생각해보면,
양변에 (1)같은 수를 더하거나, (2)같은 수를 빼거나, (3)같은 수를 곱하거나 (4) 0이 아닌 같은 수를 나누어도 등식은 성립한다.
이 중에서 (1), (2)를 활용한 것이 식을 통째로 더하고 빼는 과정입니다.
예제로 돌아가서 다시 보면,
x + y = 3 이라는 등식의 양변에 같은 수를 더할 겁니다. 왼쪽에는 x-y를 더할 것이고, 오른쪽에는 식(2)에서 x-y랑 같은 거라고 써 놓은 1을 더하는 것이죠.
그래서 모양은 다르지만 사실 같은 수를 식(1)의 양변에 더한 겁니다. 끝.
용어를 외울 필요는 없지만, 차라리 모르면 몰라도 잘못 알면 나중에 골치가 아프니까, 한 번 정리해보겠습니다. 식을 통째로 더하거나 빼면서 문자를 없애는 것을 어디서는 소거법이라고 하고 어디서는 가감법이라고 합니다. 이 둘이 다른 것인가 생각하기 쉬운데, 가감법이 소거법의 일종입니다. 용어에 상하관계가 있는 것이죠.
연립방정식에서 문자가 여러개인 경우 잘 풀 수가 없으니 문자를 줄여나가는 방법을 모두 소거법(elimination method)이라고 합니다. 소거법 중에 여러가지 방법이 있는데, 맨 윗 예제를 다시 가져와서 설명하면,
식 (2)를 x = y + 1 과 같이 하나의 문자에 대해서 푼 다음 이것을 (1)에다 대입해서 y를 소거하면 소거법 중에 대입법(substitution method)이고,
식(2)를 식(1)에 더해서 y를 없애면 소거법 중에 가감법(addition/subtraction method)
식 (2)를 x = y + 1로 x에 대해서 풀고, 식(1)도 같은 문자인 x에 대해서 x = 3-y 로 풀어서 둘 다 같은 x일 테니, y + 1 = 3 - y 로 놓고 푸는 방식은 등치법(equivalence method)이라고 합니다.
대입법과 등치법은 왜 되는지가 명확하지만 가감법은 조금 더 생각해봐야 하는데, 다들 방법을 외우고 익혀서 쓰기만 하는 동안에 가감법이 왜 되는지 물어보는 아이들이 있으면 참 반갑습니다. 그냥 있는 것을 익히는 것이 아니라, 나중에 자신이 새로 만들어도 그렇게 할 법하다는 데까지 개념을 소화하고 넘어갔으면 하는 바람이 있습니다. 끝.
